Question

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння. (y=uv, y’=u’v+uv’)

Answer 1

Ответ:

Частное решение дифференциального уравнения:

$\boxed{y =x^{3} + 0,5x^{2} + x +0,5}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \left \{ {{y_{0}=3} \atop {x_{0}=1}} \right \Longrightarrow y(x_{0}) = y_{0} \Longleftrightarrow y(1) = 3$

$y' - \dfrac{2x}{x^{2} +1} y =x^{2} +1$ - линейное дифференциальное уравнение первого порядка

$\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{2x}{x^{2} +1} y =x^{2} +1$

1)

$\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{2x}{x^{2} +1} y = 0$

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2xy}{x^{2} +1}$

$\dfrac{dy}{y} = \dfrac{2x}{x^{2} +1} \, dx$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

$y = 0$ - не является решением дифференциального уравнения

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{y} = \int \dfrac{d(x^{2} +1)}{(x^{2} +1)}$

$\ln|y| = \ln |x^{2} +1| + C_{1}$

$\ln|y| = \ln |x^{2} +1 | + \ln |C_{2}|$

$\ln|y| = \ln |C_{2}(x^{2} +1) |$

$y =C_{2}(x^{2} +1)$

Пусть $y = C(x)(x^{2} +1);C = C(x)$

$\dfrac{d}{dx} \bigg( C(x^{2} +1) \bigg ) - \dfrac{2Cx(x^{2} +1)}{x^{2} +1} =x^{2} +1$

$(x^{2} +1)\ \dfrac{dC}{dx} +2Cx - \dfrac{2Cx(x^{2} +1)}{(x^{2} +1)} =(x^{2} +1)$

$(x^{2} +1)\ \dfrac{dC}{dx} +2Cx - 2Cx =(x^{2} +1)$

$(x^{2} +1)\ \dfrac{dC}{dx} =(x^{2} +1) |:(x^{2} +1)$

$\dfrac{dC}{dx} =1$

$dC = dx \Longrightarrow C = x + C_{3}$

Решением дифференциального уравнения $y' - \dfrac{2x}{x^{2} +1} y =x^{2} +1$  есть функция:

$y = (x + C_{3})(x^{2} +1)$

Частное решение при условии $y(1) = 3:$

$3 = (1 + C_{3})(1^{2} +1)$

$3 = 2(1 + C_{3})|:2$

$1 + C_{3} = 1,5$

$C_{3} = 0,5$

$y = (x + 0,5)(x^{2} +1) = x^{3} +x + 0,5x^{2} + 0,5 = x^{3} + 0,5x^{2} + x +0,5$

$\boxed{y =x^{3} + 0,5x^{2} + x +0,5}$ - частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях