Question

Две окружности разных радиусов касаются друг друга внешним образом в точке P. Общая касательная касается окружностей в точках A и B. Докажите, что общая внутренняя касательная окружностей, проходящая через точку P, делит отрезок AB пополам​

Answer 1

Ответ:

Пусть радиусы окружностей равны R и r, где R > r, и точка касания окружностей обозначена P.

Так как точки A, B и P лежат на одной прямой, согласно теореме о касательной и хорде, имеем:

AP = PB = s, где s - длина общей касательной.

Проведем общую внутреннюю касательную окружностей, пересекающую отрезок AB в точке O.

Так как OP является высотой треугольника APB, то по теореме Пифагора в треугольниках AOP и BOP имеем:

AO² - OP² = s²/4, (1)

BO² - OP² = s²/4. (2)

Вычтем из (1) (2) и получим:

AO² - BO² = 0,

то есть AO = BO, что и требовалось доказать.

Объяснение:

...