Центр сферы радиусом 14 совпадает с вершиной
пирамиды OABCD. Найдите объем пирамиды OABCD,
если сфера проходит через точки A, B, C, D и длины
сторон прямоугольника ABCD равны 10 и 24.
Ответы
Рассмотрим пирамиду OABCD. Поскольку центр сферы радиусом 14 совпадает с вершиной пирамиды, то высота пирамиды равна 14. Пусть точка M – середина отрезка AB, а точка N – середина отрезка CD. Тогда AM = MB = 12 и CN = ND = 5.5 (по теореме Пифагора для треугольников AOB и COD). Также заметим, что угол BOC равен 90 градусов, так как ABCD – прямоугольник.
Теперь рассмотрим треугольник AOB. Пусть точка P – середина отрезка OA. Тогда OP = AP = 7 (половина высоты сферы), а угол AOB равен 90 градусов. По теореме Пифагора для треугольника AOP получаем, что AB^2 = 4AP^2 + OP^2 = 47^2 + 7^2 = 245, откуда AB = 7√5.
Теперь мы знаем все стороны и высоту пирамиды, поэтому можем вычислить ее объем. Используя формулу для объема пирамиды, получаем:
V = (1/3)Sh,
где S – площадь основания пирамиды, а h – ее высота.
Площадь основания пирамиды можно вычислить, разбив ее на два треугольника ABC и ACD. Пусть угол BAC = α. Тогда:
AC = ABcosα = 7√5cosα,
BC = ABsinα = 7√5sinα,
AD = 24,
CD = 10.
По теореме Пифагора для треугольника ACD получаем, что:
AC^2 + CD^2 = AD^2,
(7√5*cosα)^2 + 10^2 = 24^2,
245*cos^2α + 100 = 576,
cos^2α = 231/245.
Таким образом, cosα = √(231/245) = (3√21)/7, а sinα = √(1-cos^2α) = 2√3/7.
Площадь треугольника ABC равна (1/2)ABBC*sinα = 35√3, а площадь треугольника ACD равна (1/2)ACCD = 245/√21.
Таким образом, площадь основания пирамиды равна S = 35√3 + 245/√21.
Теперь можем вычислить объем пирамиды:
V = (1/3)Sh = (1/3)*(35√3 + 245/√21)*14 = 490√3/3 + 245/√3.
Таким образом, объем пирамиды OABCD равен 490√3/3 + 245/√3. Ответом на задачу является данное число, округленное до ближайшего целого числа.