Найти число а, если известно, что корни указанного урав- прогрессию: нения составляют арифметическую
1) x^4- 10x^2 + a = 0;
2) 16x^4 - 40x^2+ a = 0;
3) x^ 4- 40x^ 2+ a = 0;
4) 9x^4- 10x^2+ a = 0.
Ответы
Для того, чтобы корни уравнения составляли арифметическую прогрессию, разность между любыми двумя соседними корнями должна быть одинаковой. Так как уравнения имеют четвертую степень, то у каждого из них должно быть 4 корня.
1) Пусть корни уравнения x^4-10x^2+a=0 составляют арифметическую прогрессию. Обозначим эти корни через x1, x2, x3 и x4, где x1<x2<x3<x4.
Тогда разность между соседними корнями будет равна (x2-x1)=(x3-x2)=(x4-x3). Мы можем выразить каждый корень через x1 и эту разность:
x2 = x1 + d
x3 = x1 + 2d
x4 = x1 + 3d
Подставим эти выражения в уравнение и сгруппируем его по степеням x:
x^4 - 10x^2 + a = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
= (x-x1)(x-x1-d)(x-x1-2d)(x-x1-3d)
Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при x^3, x^2 и x к нулю, чтобы получить систему уравнений на коэффициенты:
x^3: -4d = 0, откуда d=0 (полученное значение не дает арифметической прогрессии)
x^2: -6d-3x1^2+20 = 0
x^1: 4d*x1^3-15x1 = 0
Так как d=0 не дает арифметической прогрессии, то рассмотрим случай d≠0. Из первого уравнения следует, что d=0, что противоречит нашему предположению, следовательно, корни уравнения не образуют арифметическую прогрессию.
2) Аналогично предыдущему пункту, пусть корни уравнения 16x^4 - 40x^2+ a = 0 составляют арифметическую прогрессию. Обозначим эти корни через x1, x2, x3 и x4, где x1<x2<x3<x4.
Также выразим каждый корень через x1 и разность d:
x2 = x1 + d
x3 = x1 + 2d
x4 = x1 + 3d
Подставим эти выражения в уравнение и сгруппируем его по степеням x:
16x^4 - 40x^2+ a = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
= (x-x1)(x-x1-d)(x-x1-2d)(x-x1-3d)
Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при x^3, x^2 и x к нулю, чтобы получить систему уравнений на коэффициенты:
x^3: -4d = 0, откуда d=0 (полученное значение не дает арифметической прогрессии)
x^2: -6d-24x1^2+40 = 0
x^1: 4d*x1^3-10x1 = 0
Подставим значение d=0 во второе уравнение:
-24x1^2+40 = 0
x1^2 = 5/3
Подставим это значение в третье уравнение:
4dx1^3-10x1 = 0
4d(5/3)^(3/2)-10*(5/3)^(1/2) = 0
d = 5/2
Таким образом, корни уравнения образуют арифметическую прогрессию с разностью d=5/2. Подставим это значение в первое уравнение:
x^4 - 10x^2 + a = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
= (x-1)(x-3.5)(x-6)(x-8.5)
Ответ: a = 735.
3) Пусть корни уравнения x^4-40x^2+a=0 образуют арифметическую прогрессию. Обозначим эти корни через x1, x2, x3 и x4, где x1<x2<x3<x4.
Также выразим каждый корень через x1 и разность d:
x2 = x1 + d
x3 = x1 + 2d
x4 = x1 + 3d
Подставим эти выражения в уравнение и сгруппируем его по степеням x:
x^4-40x^2+a = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
= (x-x1)(x-x1-d)(x-x1-2d)(x-x1-3d)
Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при x^3, x^2 и x к нулю, чтобы получить систему уравнений на коэффициенты:
x^3: -4d = 0, откуда d=0 (полученное значение не дает арифметической прогрессии)
x^2: -6d-39x1^2+40 = 0
x^1: 4d*x1^3-40x1 = 0
Так как d=0 не дает арифметической прогрессии, то рассмотрим случай d≠0. Из первого уравнения следует, что d=0, что противоречит нашему предположению, следовательно, корни уравнения не образуют арифметическую прогрессию.
Ответ:
1) Заметим, что уравнение имеет вид квадратного трехчлена относительно переменной x^2. Тогда его корни можно найти по формуле: x^2 = (10±√(100-4a))/2 = 5±√(25-a).
Так как корни образуют арифметическую прогрессию, то (5+√(25-a)) - 5 = 5 - (5-√(25-a)), откуда √(25-a) = √(25-a), то есть это верно для любого а.
2) Аналогично первому уравнению, заметим, что корни образуют арифметическую прогрессию, и поэтому можно воспользоваться формулой для квадратного трехчлена: x^2 = (5±√(25-a))/4.
Так как корни должны быть действительными, то из этого следует, что 25-a≥0, то есть a≤25. Подставив это ограничение в формулу для x^2, получаем: 0 ≤ x^2 ≤ (5+√(25-a))/4. Максимальное значение правой части достигается при a=25 и равно 5/4. Следовательно, максимальное значение x^2 равно 5/4, а максимальное значение x равно √(5/4) = ±√5/2.
3) Аналогично первому уравнению, заметим, что корни образуют арифметическую прогрессию, и поэтому можно воспользоваться формулой для квадратного трехчлена: x^2 = (40±√(1600-4a))/2 = 20±√(400-a).
Так как корни должны быть действительными, то из этого следует, что 400-a≥0, то есть a≤400. Подставив это ограничение в формулу для x^2, получаем: 0 ≤ x^2 ≤ (20+√(400-a))/2 = 10+√(400-a)/2. Максимальное значение правой части достигается при a=400 и равно 10, а максимальное значение x равно √10.
4) Аналогично первому уравнению, заметим, что корни образуют арифметическую прогрессию, и поэтому можно воспользоваться формулой для квадратного трехчлена: x^2 = (10±√(100-4a))/6 = 5/3±√(25/9-a/3).
Так как корни должны быть действительными, то из этого следует, что 25/9-a/3≥0, то есть a≤75/3=25. Подставив это ограничение в формулу для x^2, получаем: 0 ≤ x^2 ≤ (5/3+√(25/9-a/3))/2. Максимальное значение правой части достигается при a=25 и равно 5/3, а максимальное значение x равно √(5/3).