Question

tg 2x= 2.Найдите sin4x+cos4x

Answer 1

Ответ:   $\bf sin4x+cos4x=0,2$  .

  $\bf tg2x=2\ \ ,\ \ sin4x+cos4x=?\\\\tg2x=\dfrac{sin2x}{cos2x}=2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sin2x=2\, cos2x$  

Применим формулы двойных углов :   $\bf sin2a=2\, sina\cdot cosa\ ,$  

 $\bf cos2a=cos^2a-sin^2a=1-2sin^2a=2cos^2a-1$  .

$\bf sin4x+cos4x=2\cdot \underbrace{\bf sin2x}_{2\, cos2x}\cdot cos2x+(2cos^22x-1)=\\\\=4\, cos^22x+2\, cos^22x-1=6\, cos^22x-1$  

Применим тождество   $\bf 1+tg^2a=\dfrac{1}{cos^2a}\ \ \ \Rightarrow$  

$\bf cos^22x=\dfrac{1}{1+tg^22x}=\dfrac{1}{1+2^2}=\dfrac{1}{5}$        

Подставим числовое значение   cos²x  в равенство

$\bf sin4x+cos4x=6\, cos^22x-1=6\cdot \dfrac{1}{5}-1=\dfrac{6}{5}-1=\dfrac{1}{5}=0,2$