Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких рівняння (2a - 1)x² + ax + 2а - 3 = 0 має не більше ніж один корінь. 2
Ответы
Для того, щоб рівняння мало не більше ніж один корінь, дискримінант має бути меншим або рівним нулю.
Дискримінант D буде:
D = a² - 4(2a - 1)(2a - 3)
Розкриваємо дужки і спрощуємо:
D = a² - 8a² + 28a - 21
D = -7a² + 28a - 21
Тепер знаходимо значення параметра а, при яких дискримінант менший або рівний нулю:
-7a² + 28a - 21 ≤ 0
Ділимо обидві частини нерівності на -7 і змінюємо напрямок нерівності:
a² - 4a + 3 ≥ 0
(a - 1)(a - 3) ≥ 0
Отримали дві точки на числовій прямій: a = 1 та a = 3.
Далі потрібно дослідити знак виразу (a - 1)(a - 3) в інтервалах, утворених цими точками.
Якщо а < 1, то (a - 1) та (a - 3) будуть від’ємними числами, тому їх добуток буде додатнім: (a - 1)(a - 3) > 0.
Якщо 1 < a < 3, то (a - 1) буде додатнім числом, а (a - 3) - від’ємним, тому їх добуток буде від’ємним: (a - 1)(a - 3) < 0.
Якщо а > 3, то обидва множники будуть додатніми, тому їх добуток буде додатнім: (a - 1)(a - 3) > 0.
Отже, рівняння (2a - 1)x² + ax + 2а - 3 = 0 матиме не більше ніж один корінь, коли a < 1 або a > 3. Залишається перевірити проміжок 1 < a < 3, щоб впевнитись, що там рівняння також матиме не більше ніж один корінь.
При a = 2, наприклад, рівняння має вигляд 3x² + 4x - 1 = 0, і має два корені, отже, пром