СРОЧНО!!!
Контрольная по геометрии
1. Дано точки К(5; –3; 7) і М(–1; 7; 3). Знайдіть координати
середини відрізка КМ.
2. Знайдіть координати точки, симетричної точці В(5; –2; 2)
відносно точки С(3; 0; –4).
3. Знайдіть довжину медіани ВМ ΔАВС, заданого координатами
своїх вершин А(8; –1; 2), В(2; –1; 3) і С(1; 5; 2).
4. Знайдіть косинус кута між векторами а і b , якщо:
а (2; 1; 0), b (2; 5; 6).
5. Знайдіть скалярний добуток векторів а (–3; 2; –5), b (–5; 6; –1).
6. Знайдіть периметр чотирикутника АВСD, якщо А(4; 1; 3),
В(4; 0; 3), С(4;1;8), D(5; 7; 5).
7. Побудуйте фігуру, симетричну даному ΔNKM відносно:
а) довільної точки А; б) вершини K; в) середини В сторони NM.
Ответы
Щоб знайти координати середини відрізка КМ, потрібно знайти середнє арифметичне кожної координати точок К і М. Тобто:
x = (5 - 1) / 2 = 2
y = (-3 + 7) / 2 = 2
z = (7 + 3) / 2 = 5
Отже, координати середини відрізка КМ: (2; 2; 5).
Щоб знайти координати симетричної точки В відносно точки С, потрібно взяти відображення точки В відносно точки С, використовуючи формули:
x' = 2a - x
y' = 2b - y
z' = 2c - z
де (a, b, c) - координати точки С. Підставляючи дані, отримуємо:
x' = 2 * 3 - 5 = 1
y' = 2 * 0 + 2 = 2
z' = 2 * (-4) - 2 = -10
Отже, координати симетричної точки В відносно точки С: (1; 2; -10).
Медіана ВМ - це відрізок, який з'єднує вершини В і М з серединою сторони АС. Тому для знаходження довжини медіани ВМ потрібно спочатку знайти координати точки АС.
Координати точки АС будуть середніми арифметичними координат точок А і С:
x = (8 + 1) / 2 = 4.5
y = (-1 + 5) / 2 = 2
z = (2 + 2) / 2 = 2
Тепер можна знайти координати середини сторони ВС, яка є точкою перетину медіани ВМ і АС. Це також середнє арифметичне координат точок В і С:
x = (2 + 1) / 2 = 1.5
y = (-1 + 0) / 2 = -0.5
z = (3 + 2) / 2 = 2.5
Таким чином, координати середини сторони ВС: (1.5; -0.5; 2.5).
Довжина медіани ВМ може бути знайдена за допомогою формули:
|BC| = 1/2 * √[(x_BM - x_AС)² + (y_BM - y_AС)² + (z_BM - z_AС)²]
Скалярний добуток векторів a і b обчислюється як сума добутків їх координат:
a · b = (-3)(-5) + 26 + (-5)*(-1) = 15 + 12 + 5 = 32.
Відповідь: 32.
Периметр чотирикутника АВСD складається з суми довжин сторін:
AB = 1, BC = 7, CD = 5√2, DA = 5√2. Для обчислення довжини діагоналі CD можна використати теорему Піфагора для трикутника СДЕ, де Е - середина AB:
DE = AB/2 = 0.5, CE = CS - ES = 7 - 0.5 = 6.5
CD² = CE² + DE² = 6.5² + 0.5² = 42.5
CD = √42.5
Тоді периметр дорівнює:
P = AB + BC + CD + DA = 1 + 7 + √42.5 + 5√2 ≈ 22.5
Відповідь: 22.5.
a) Щоб побудувати фігуру, симетричну ΔNKM відносно довільної точки А, можна використати конструкцію, в якій будується перпендикуляр до променя ANK у точці А, а потім проводяться відрізки, які перетинають цей перпендикуляр і проходять через точки N і М. Точки перетину будуть симетричними точками відносно точки А.
б) Щоб побудувати фігуру, симетричну ΔNKM відносно вершини K, можна провести лінію симетрії, яка проходить через точки K і середину відрізка NM. Потім проводяться відрізки від вершини N до лінії симетрії, які перетинають її і проходять через точки M і K. Точки перетину будуть симетричними точками відносно вершини K.
в) Щоб побудувати фігуру, симетричну ΔNKM відносно середини В сторони NM, можна провести лінію симетрії, яка проходить через точки В і середину відрізка