Ответы
Для того, щоб довести, що значення виразу 2¹² + 3⁶ ділиться націло на 25, ми можемо скористатися малим теоремою Ферма.
За малою теоремою Ферма, якщо p є простим числом, то для будь-якого цілого числа a, яке не ділиться на p, виконується наступна рівність:
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
Тобто, якщо ми піднесемо будь-яке ціле число a до степеня p-1 і поділимо на p, то залишок буде дорівнювати 1.
В нашому випадку, просте число 5 ділиться націло на 25, тому застосуємо малу теорему Ферма для p=5:
2^(5-1) ≡ 1 (mod 5)
2^4 ≡ 1 (mod 5)
Таким же чином, маємо:
3^(5-1) ≡ 1 (mod 5)
3^4 ≡ 1 (mod 5)
Застосовуючи ці співвідношення, ми можемо перетворити вираз 2¹² + 3⁶:
2¹² + 3⁶ = 2^(43) + 3^(23) = (2^4)^3 + (3^2)^3 ≡ 1^3 + 1^3 ≡ 2 (mod 5)
Отже, 2¹² + 3⁶ ділиться націло на 5, а також очевидно ділиться на 5²=25, оскільки 2¹² + 3⁶ є натуральним числом. Таким чином, ми довели, що значення виразу 2¹² + 3⁶ ділиться націло на 25.