Question

Найти десятый член некоторой последовательности и доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, если известно, что при любом n сумма первых n членов этой последовательности выражается формулой:
1) n^2 + 3n;
2) n^2 + 2n;
3) 2n^2 + 2n​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\1)\\\\S_{n} =n^{2} +3n\\\\S_{1} =a_{1} =1^{2} +3\cdot 1=1+3=4\\\\S_{2} =a_{1} + a_{2} =2^{2} +3\cdot 2=4+6=10\\\\a_{2} =S_{2} -a_{1} =10-4=6\\\\S_{3} =S_{2} +a_{3} =3^{2} +3\cdot 3=9+9=18\\\\a_{3} =S_{3} -S_{2} =18-10=8$

Каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и тоже число равное 2 , значит это арифметическая прогрессия в которой d = 2 .

$\displaystyle\bf\\a_{10} =a_{1} +9d=4+9\cdot 2=4+18=22\\\\\boxed{a_{10} =22}$

$\displaystyle\bf\\2)\\\\S_{n} =n^{2} +2n\\\\S_{1} =a_{1} =1^{2} +2\cdot 1=1+2=3\\\\S_{2} =a_{1} + a_{2} =2^{2} +2\cdot 2=4+4=8\\\\a_{2} =S_{2} -a_{1} =8-3=5\\\\S_{3} =S_{2} +a_{3} =3^{2} +2\cdot 3=9+6=15\\\\a_{3} =S_{3} -S_{2} =15-8=7\\\\d=2\\\\a_{10} =a_{1} +9d=3+9\cdot 2=3+18=21\\\\\boxed{a_{10} =21}$

$\displaystyle\bf\\3)\\\\S_{n} =2n^{2} +2n\\\\S_{1} =a_{1} =2\cdot1^{2} +2\cdot 1=2+2=4\\\\S_{2} =a_{1} + a_{2} =2\cdot2^{2} +2\cdot 2=8+4=12\\\\a_{2} =S_{2} -a_{1} =12-4=8\\\\S_{3} =S_{2} +a_{3} =2\cdot3^{2} +2\cdot 3=18+6=24\\\\a_{3} =S_{3} -S_{2} =24-12=12\\\\d=4\\\\a_{10} =a_{1} +9d=4+9\cdot 4=4+36=40\\\\\boxed{a_{10} =40}$