Question

Обчислити невластиві інтеграли або довести їх розбіжність

Answer 1

а)$\int\limits^\infty_0 {x*3^{-x^{2}}} \, dx = \int\limits^1_0 {x*3^{-x^{2}}} \, dx + \int\limits^\infty_1 {x*3^{-x^{2}}} \, dx = \int\limits^1_0 {x*3^{-x^{2}}} \, dx + \lim_{T \to \infty} \int\limits^T_1 {x*3^{-x^{2}}} \, dx$

Давай сначала посчитаем первый определённый интеграл

$\int\limits^1_0 {x*3^{-x^{2}}} \, dx\\-x^{2} = t\\dx*(-2x) = dt\\xdx = \frac{dt}{2}$

Не забываем изменить границы интегрирования

t(1) = -1

t(0) = 0

$-\int\limits^0_{-1} {3^{t}*\frac{-1}{2} }} \, dt = \frac{3^{t}}{2ln(3)} {|^{0}} _{-1} = \frac{1}{2ln(3)} - \frac{1}{6ln(3)} = \frac{1}{3ln(3)}$

Теперь второй интеграл

$\lim_{T \to \infty} \int\limits^T_1 {x*3^{-x^{2}}} \, dx = \lim_{T \to \infty} \frac{-1}{2ln(3)*3^{x^{2} }} |^{T}_{1} = \lim_{T \to \infty} (\frac{-1}{2ln(3)*3^{T^{2}}}+\frac{1}{6ln(3)} ) = \lim_{T \to \infty} (0+\frac{1}{6ln(3)} ) =\frac{1}{6ln(3)}$

теперь все в первый пример

$\frac{1}{3ln(3)}+\frac{1}{6ln(3)} = \frac{1}{2ln(3)}$

Ответ: $\frac{1}{2ln(3)}$

b) $\int\limits^1_0 {\frac{1}{x^{2} +2x} } \, dx = \int\limits^1_0 {\frac{1}{x(x+2)} } \, dx$

$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}\\0x+ 1 = Ax+2A + Bx \\\left \{ {{A+B=0} \atop {2A=1}} \right.\\ \left \{ {{B=-\frac{1}{2} } \atop {A=\frac{1}{2} }} \right.$

$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{2x+4}$

Теперь

$\int\limits^1_0 {\frac{1}{x^{2} +2x} } \, dx = \int\limits^1_0 {\frac{1}{x(x+2)} } \, dx = \int\limits^1_0 {\frac{1}{2x} } \, dx - \int\limits^1_0 {\frac{1}{2x+4} } \, dx$

$\lim_{T \to 0} \int\limits^1_T {\frac{1}{2x} } \, dx = \lim_{T \to 0} \frac{1}{2} ln|x| \|^{1}_{T} = \lim_{T \to 0} (0 + \infty)$

Видем, что интеграл расходится, а значит площадь под этим графиком функции стремится к бесконечности. Это главное, а то что сходится/расходится следующий интеграл, нас уже не касается.

Отсюда следует, что ответ  примера b) равен ∞.

Сделай ответ лучшим пожалуйста