Ответы
1. б) 13см
Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой:
R = (abc)/(4S), где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.
По формуле Герона находим площадь треугольника:
p = (10+24+26)/2 = 30, S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(302064) = 120 см^2
R = (102426)/(4120) = 13 см
Ответ: б) 13см.
2. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, третий угол равен 180 - 35 - 55 = 90°.
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 6 см. По теореме о радиусе описанной окружности в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Значит, гипотенуза равна 2R = 12 см.
Согласно теореме Пифагора, катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24 см, а гипотенуза равна √(7^2 + 24^2) = 25 см.
Ответ: сторона треугольника, к которой прилегают два данных угла, равна 25 см.
3. Радиус вписанной окружности равен половине стороны, к которой он прилегает. Значит, радиус вписанной окружности равен 12 см.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию (диаметру), является биссектрисой и медианой, а также высотой прямоугольного треугольника, образованного диаметром и сторонами треугольника. Значит, высота равнобедренного треугольника равна √(24^2 - 15^2) = 9 см.
Площадь треугольника равна (1/2)249 = 108 см^2.
Ответ: 108 см^2.
4. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен половине высоты, что равно отношению стороны к корню из трех. Таким образом, радиус вписанной окружности равен 4√3/3 см. Радиус описанной окружности равен стороне треугольника, что равно 8 см. Площадь кольца, заданного этими окружностями, равна площади большей окружности минус площадь меньшей окружности, то есть πr² - πR², где r - радиус меньшей окружности, R - радиус большей окружности. Подставляя значения, получаем: π(8²) - π(4√3/3)² ≈ 163,5 (см²).
5. Радиус меньшей окружности, которая касается сторон угла и данной окружности, называется радиусом вписанной окружности. Обозначим этот радиус как r. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины угла равно r, так как радиус окружности и проведенная из центра окружности к вершине угла линия образуют прямой угол. Расстояние от центра данной окружности до вершины угла равно 30 см. По теореме Пифагора в треугольнике, образованном радиусом данной окружности, расстоянием от центра данной окружности до точки касания меньшей окружности и стороной угла, и расстоянием от центра вписанной окружности до вершины угла, имеем: r² = (30 - 6)² + (6)² = 876. Следовательно, радиус меньшей окружности равен √876 ≈ 29,6 см.