Question

Упростить выражение: ctg³a+cos³a - 1/sin²a

Answer 1

Ответ:

Можно преобразовать каждый из трех слагаемых исходного выражения, используя формулы тригонометрии.

1. ctg³a = (cos a / sin a)³ = cos³a / sin³a.

2. cos³a = cos²a * cos a = (1 - sin²a) * cos a.

3. 1/sin²a = csc²a = (1 + ctg²a) = (1 + cos²a / sin²a).

Теперь можно подставить полученные выражения в исходное и упростить:

ctg³a + cos³a - 1/sin²a = cos³a / sin³a + (1 - sin²a) * cos a - (1 + cos²a / sin²a) =

= (cos³a - cos a * sin²a) / sin³a - cos²a / sin²a =

= [(cos a * (1 - sin²a)) - cos a * sin²a] / sin³a - cos²a / sin²a =

= cos a / sin³a - cos²a / sin²a =

= (cos a - cos³a) / sin²a * sin a =

= cos a (1 - cos²a) / sin²a * sin a =

= cos a * sin a в числителе и знаменателе сократятся:

= 1 - cos²a = sin²a.

Ответ: sin²a.