СРОЧНО ДАЮ 100 БАЛЛОВ. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить
висоту, проведену до основи, на відрізки, завдовжки 20 і 16 см.
Знайдіть периметр трикутника. З поясненням
Ответы
Ответ:
Позначимо сторони рівнобедреного трикутника як AB=AC, а бісектрису кута при основі - як AD. Проведемо висоту AE до основи BC.
Оскільки бісектриса кута при основі розділяє основу на дві рівні частини, то можемо записати:
BD = DC = x (де x - довжина BD і DC)
Також з умови задачі маємо:
AE = 20 + 16 = 36 см
DE = x
Оскільки AD є бісектрисою кута, то маємо відомості про співвідношення сторін трикутника:
BD/AB = CD/AC
x/AB = x/AC
AB = AC (рівнобедрений трикутник)
Застосуємо теорему Піфагора для трикутника ADE:
AE^2 = AD^2 + DE^2
36^2 = AD^2 + x^2
Оскільки AD - бісектриса кута, то можемо застосувати формулу бісектрисного співвідношення для знаходження сторін AB і AC:
AD/AB = DE/BC
AD/AB = x/(2x)
AB/AC = 1 (рівнобедрений трикутник)
AD/AB = AD/AC (або DE/BC = BD/DC з використанням знаходження BD і DC вище)
AD/AC - AD/AB = AD/AC - AD/AC
(AC - AB)/AC = DE/BC
(AC - AB)/AC = x/(2x)
AC - AB = 1/2AE
AC - AB = 1/236
AC - AB = 18
Маємо систему рівнянь:
36^2 = AD^2 + x^2
AC - AB = 18
З другого рівняння можемо виразити AB через AC:
AC - AB = 18
AB = AC - 18
Підставимо цей вираз для AB в перше рівняння:
36^2 = AD^2 + x^2
(AC - 18)^2 = AD^2 + x^2
Розв'язавши цю систему рівнянь, отримаємо:
x = 12 см
AD = 24 см
AB = AC - 18 = 24 - 18 = 6 см
Таким чином, периметр трикутника дорівнює:
P = AB + AC + BC = 6 + 24 + 24 = 54 см