Question

Дуже потрібно допоможіть.
Знайти інтеграли, використовуючи методи: заміна змінної (підстановка); інтегрування частинами; інтегрування дробово-раціональних виразів.
​

Answer 1

Ответ:

1)  Метод подстановки .

$\bf \displaystyle \int \frac{\sqrt{x} }{1+\sqrt{x}}\, dx=\Big[\ t^2=x\ ,\ t=\sqrt{x}\ ,\ dx=2t\, dt\ \Big]=\int \frac{t\cdot 2t\, dt}{1+t}=\\\\\\=2\int \frac{t^2\, dt}{1+t}=2\int \Big(t-1+\frac{1}{t+1}\Big)\, dt=2\cdot \Big(\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|\Big)+C=\\\\\\=x-2\sqrt{x}+ln|\, \sqrt{x}+1\, |+C$

2)   Метод интегрирования по частям :  $\bf \displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du$  

$\bf \displaystyle \int x^2\cdot arccosx\, dx=\Big[\ u=arccosx\ ,\ du=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\ ,\ dv=x^2\, dx\ ,\\\\\\v=\frac{x^3}{3}\ \Big]=\frac{x^3}{3}\cdot arccosx+\frac{1}{3}\int \frac{x^3\, dx}{\sqrt{1-x^2}}\ ;$    

Вычислим отдельно интеграл, введя тригонометрическую замену .

$\bf \displaystyle \int \frac{x^3\, dx}{\sqrt{1-x^2}}=\Big[\ x=sint\ ,\ dx=cost\, dt\ ,\ \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-sin^2t}=\\\\\\=\sqrt{cos^2t}=cost\Big]=\int \frac{sin^3t\cdot cost\, dt}{cost}=\int sin^3t\, dt=\int sin^2t\cdot sint\, dt=\\\\\\=\int (1-cos^2t)\cdot sint\, dt=-\int (1-cos^2t)\cdot d(cost)=-cost+\frac{cos^3t}{3}+C_1=\\\\\\=-cos(arcsint)+\frac{1}{3}\, cos^3(arcsinx)+C_1=-\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{3}\cdot \sqrt{(1-x^2)^3}+C_1\ ;$

Подставим вычисленный интеграл в выражение  , получим  

$\bf \displaystyle \int x^2\cdot arccosx\, dx=\frac{x^3}{3}\cdot arccosx-\frac{\sqrt{1-x^2}}{3}+\frac{1}{9}\cdot \sqrt{(1-x^2)^3}+C$  

3) Выделяем полный квадрат в знаменателе дроби .

$\bf \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+x+2}=\int \frac{dx}{\Big(x+\dfrac{1}{2}\Big)^2+\dfrac{7}{4}}=\int \frac{d\Big(x+\dfrac{1}{2}\Big)}{\Big(x+\dfrac{1}{2}\Big)^2+\dfrac{7}{4}}=\\\\\\=\frac{2}{\sqrt7}\cdot arctg\frac{2\Big(x+\dfrac{1}{2}\Big)}{\sqrt7}+C=\frac{2}{\sqrt7}\cdot arctg\frac{2x+1}{\sqrt7}+C$  

4) Интегрирование рациональных выражений .

$\bf \displaystyle \int \frac{x^3-2x^2+4}{x^2+2x-3}\, dx=\int \Big(x-2+\frac{5x-2}{x^2+2x-3}\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{x^2}{2}-2x+\int \frac{5x-2}{(x-1)(x+3)}\, dx\ ;$  

Разложим правильную дробь на сумму простейших дробей .

$\bf \dfrac{5x-2}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 5x-2=A(x+3)+B(x-1)\\\\\\5x-2=(A+B)\, x+(3A-B)\\\\A+B=5\\3A-B=-2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ A=\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ B=\dfrac{17}{4}$    

$\bf \displaystyle \int \frac{x^3-2x^2+4}{x^2+2x-3}\, dx=\frac{x^2}{2}-2x+\int \frac{5x-2}{(x-1)(x+3)}\, dx=\\\\\\=\frac{x^2}{2}-2x+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{17}{4}\int \frac{dx}{x+3}=\frac{x^2}{2}-2x+\frac{3}{4}\, ln|x-1|+\frac{17}{4}\, ln|x+3|+C$