Question

Сколько 4-элементных подмножеств множества {1, 2, 3, 4, . . . , 10}
содержат пару чисел, чьё произведение делится нацело на 9?

Answer 1

Ответ:

105.

Объяснение:

В множестве А натуральных чисел от 1 до 10 на 3 делятся только 3, 6 и 9. Произведение двух чисел из А делится на 9 в двух случаях: или одно из них является девяткой, или это числа 3 и 6.

Всего у 10-элементного множества есть

                          $C_{10}^4=\dfrac{10!}{4!\cdot(10-4)!}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2} =210$

4-элементных подмножеств.

Найдём, сколько у этого множества есть 4-элементных подмножеств, НЕ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ условию задачи.

Во-первых, это подмножества, не содержащие ни 3, ни 6, ни 9.  

Их, конечно,

                              $C_7^4=\dfrac{7!}{4!\cdot 3!}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2}=35$

штук.

Во-вторых, это подмножества, содержащие 3, но не содержащие 6 и 9. Их

                                                 $C_7^3=35$

штук.

В-третьих,  это подмножества, содержащие 6, но не содержащие 3 и 9. Их

                                                 $C_7^3=35$

штук.

Поэтому условию задачи НЕ удовлетворяет 35+35+35=105 подмножеств. А поскольку всего 4-элементных подмножеств 210 штук, условию задачи удовлетворяет 210-105=105 подмножеств.