Question

СРОЧНО!
У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 60°, а бісектриса цього кута - 4 см. Знайдіть довжину катета, що лежить проти цього кута.

Answer 1

Ответ:Позначимо сторони прямокутного трикутника як a та b, де сторона b лежить проти гострого кута в 60°.

Оскільки бісектриса гострого кута розділяє його на дві рівні частини, то ми знаємо, що кут між бісектрисою та стороною b дорівнює 30°. Тоді, оскільки це прямокутний трикутник, то кут між бісектрисою та гіпотенузою дорівнює 90°, а кут між гіпотенузою та стороною b дорівнює 60°.

Застосовуючи тригонометричний тангенс до кута 30°, отримуємо:

tan 30° = a / (b/2)

1/√3 = a / (b/2)

a = b / (2√3)

Тепер застосуємо теорему Піфагора до знайдених двох сторін, a та b:

a² + b² = c²,

де c є гіпотенузою прямокутного трикутника.

Замінюючи a на вираз, отриманий раніше, отримуємо:

(b / (2√3))² + b² = c²

b² / 12 + b² = c²

13b² / 12 = c²

Так як ми знаємо, що гострий кут дорівнює 60°, то сторона b лежить проти цього кута. Тому, за властивостями прямокутних трикутників, гіпотенуза дорівнює 2b. Отже, маємо:

c = 2b

Замінюючи c у виразі, отриманому раніше, отримуємо:

13b² / 12 = (2b)²

13b² / 12 = 4b²

b² = 12 / 13

Отже, довжина катета, що лежить проти гострого кута, дорівнює:

b / √3 = ( √(12/13) / √3 ) = √(4/13) см.

Объяснение: