Question

Помогите решить срочно Задано координати точок A B C A(-5; 6; 7) B(3; 8; -1) C(4; 5; -5)
Потрібно:
1) записати канонічні рівняння прямої AB; 2) записати рівняння площини Q , що проходить через точку C перпендикулярно до прямої AB, та знайти точку M – точку перетину цієї площини з прямоюAB; 3) знайти точку N , що симетрична для точки C відносно прямої AB ; 4) знайти відстань від точки C до прямоїAB.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Вектор, що сполучає точки A та B, дорівнює:

v1 = (3-(-5); 8-6; -1-7) = (8; 2; -8)

Тому канонічне рівняння прямої AB має вигляд:

{x + 5 \over 8} = {y - 6 \over 2} = {z - 7 \over -8}

2) Вектор нормалі до площини Q є напрямком прямої, перпендикулярної до прямої AB. Таким вектором буде векторовий добуток векторів v1 та будь-якого вектора, що не належить прямій AB (наприклад, вектора, що сполучає точки A та C):

v2 = (4-(-5); 5-6; -5-7) = (9; -1; -12)

n = v1 x v2 = (2*(-12) - (-8)*(-1); -8*9 - 8*(-12); 8*(-1) - 2*9) = (4; -104; -26)

Рівняння площини Q:

4(x - 4) - 104(y - 5) - 26(z + 5) = 0

Точку М можна знайти, розв'язавши систему рівнянь:

{x + 5 \over 8} = {y - 6 \over 2} = {z - 7 \over -8}

4(x - 4) - 104(y - 5) - 26(z + 5) = 0

Отримаємо:

x = -12, y = 5, z = -3

Точка M(-12; 5; -3)

3) Щоб знайти точку N, вектор, який сполучає точки C та М необхідно помножити на 2 та додати до координат точки C:

v3 = 2v1 = (16; 4; -16)

N = C + v3 = (-5+16; 6+4; 7-16) = (11; 10; -9)

Точка N(11; 10; -9)

4) Відстань від точки C до прямої AB дорівнює відстані від точки C до точки М. Вектор, що сполучає точки C та М:

v4 = (-12-4; 5-8; -3+7) = (-16; -3; 4)

Відстань можна знайти за формулою:

d = {|\vec{CM} \times \vec{v1}| \over |\vec{v1}|}

|\vec{CM} \times \vec{v1}| = |(-3*(-8) - 4*(-26); 4*(-16) - (-3)*(-8); (-16)*(-1) - (-3)*9)| = (168; -140; 7)

|\vec{v1}| = \sqrt{8^2+2^2+(-8)^2} = 2\sqrt{34}

d = {|\vec{CM} \times \vec{v1}| \over |\vec{v1}|} = {1 \over \sqrt{34}}|168; -140; 7| \approx 12.85

Отже, відстань дорівнює близько 12.85.