Question

У геометричній прогресії b5=81, b8=27. Обчислити суму п'яти перших членів.​

Answer 1

Ответ:

За формулою для n-го члена геометричної прогресії, знаходимо співвідношення між b5 і b8:

b5 * r^3 = b8

81 * r^3 = 27

r^3 = 1/3

r = 1/∛3

Знаючи r, можна обчислити попередні члени прогресії:

b4 = b5 / r = 81 / (1/∛3) = 81∛3

b3 = b4 / r = 81∛3 / (1/∛3) = 27

b2 = b3 / r = 27 / (1/∛3) = 27∛3

Тепер можемо обчислити суму п'яти перших членів прогресії:

S5 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5

S5 = b1 + 27∛3 + 27 + 81∛3 + 81

За формулою для суми n перших членів геометричної прогресії, знаходимо b1:

S5 = b1 * (1 - r^5) / (1 - r)

b1 = S5 * (1 - r) / (1 - r^5)

b1 = (b1 + 27∛3 + 27 + 81∛3 + 81) * (∛3 - 1) / (1 - 1/27)

b1 = 12(∛3 + 1)

Тепер можна обчислити суму:

S5 = (∛3 + 1) * (1 - (1/∛3)^5) / (1 - 1/∛3)

S5 = (∛3 + 1) * (1 - 1/27) / (2/∛3)

S5 = 104∛3 / 9

Отже, сума п'яти перших членів прогресії дорівнює 104∛3 / 9.