Ответы
Ответ:
y = y_h + y_p = c1 + c2e^(-x) + c3x + (1/6)x + 1/36
где c1,c2,c3 сталые
Дано дифференциальное уравнение:
xy''' + y'' = 1
где y = y(x), y' = dy/dx, y'' = d²y/dx², y''' = d³y/dx³.
Это уравнение можно решить методом вариации произвольной постоянной.
Сначала находим общее решение однородного уравнения, получаем:
xy''' + y'' = 0
Характеристическое уравнение:
λ³x + λ² = 0
λ₁ = 0, λ₂ = ±i
Тогда общее решение однородного уравнения:
y₁ = c₁ + c₂cos(x) + c₃sin(x)
Далее находим частное решение неоднородного уравнения в виде
y₂ = (A + Bx)
Подставляем y₂ и её первую и вторую производные в уравнение и находим значения коэффициентов А и В:
y''₂ = 0, y'''₂ = 0
A = 1/6, B = -1/2
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:
y₂ = (1/6 - 1/2x)
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
y = y₁ + y₂
y = c₁ + c₂cos(x) + c₃sin(x) + (1/6 - 1/2x)
где c₁, c₂, c₃ - произвольные постоянные.