обчисліть перший член та суму п'яти перших членів геометричної прогресії (an), якщо а7+а21=4, а4+а18=-20
Ответы
обчисліть перший член та суму п'яти перших членів геометричної прогресії (an), якщо а7+а21=4, а4+а18=-20
Для вирішення задачі ми можемо скористатись системою рівнянь, де а - перший член геометричної прогресії, а q - її знаменник:
a7 = a * q^6
a21 = a * q^20
a4 = a * q^3
a18 = a * q^17
За умовою задачі маємо таку систему рівнянь:
a7 + a21 = 4
a4 + a18 = -20
Підставляємо вирази для a7 і a21 залежно від q у перше рівняння та вирази для a4 і a18 залежно від q у друге рівняння:
a * q^6 + a * q^20 = 4
a * q^3 + a * q^17 = -20
Виділимо з кожного рівняння член а, щоб знайти q^6 та q^14:
a * (q^6 + q^20) = 4
a * (q^3 + q^17) = -20
q^6 + q^20 = (q^3 + q^17) * (q^3 - q^17)
q^6 + q^20 = q^6 * (1 - q^14)
(1 - q^14) = (q^3 + q^17) / (1 + q^6)
(1 - q^14) = (q^3 + q^17) / (1 + q^6)
q^6 + q^20 = q^6 * (1 - q^14)
q^6 * q^14 = 1
q = (1)^(1/20)
q = 1
Таким чином, знаменник q дорівнює одиниці. Підставимо це значення в будь-який з виразів для знаходження значення першого члена:
a * q^6 + a * q^20 = 4
a + a = 4
2a = 4
a = 2
Тепер ми можемо знайти суму перших п'яти членів геометричної прогресії, використовуючи формулу:
S5 = a * (q^5 - 1) / (q - 1)
S5 = 2 * ((1^5 - 1) / (1 - 1))
S5 = 2 * 0
S5 = 0
Отже, перший член геометричної прогресії дорівнює 2, а сума її перших п'яти членів дорівнює 0.