Question

обчисліть перший член та суму п'яти перших членів геометричної прогресії (an), якщо а7+а21=4, а4+а18=-20

Answer 1

обчисліть перший член та суму п'яти перших членів геометричної прогресії (an), якщо а7+а21=4, а4+а18=-20

Для вирішення задачі ми можемо скористатись системою рівнянь, де а - перший член геометричної прогресії, а q - її знаменник:

a7 = a * q^6

a21 = a * q^20

a4 = a * q^3

a18 = a * q^17

За умовою задачі маємо таку систему рівнянь:

a7 + a21 = 4

a4 + a18 = -20

Підставляємо вирази для a7 і a21 залежно від q у перше рівняння та вирази для a4 і a18 залежно від q у друге рівняння:

a * q^6 + a * q^20 = 4

a * q^3 + a * q^17 = -20

Виділимо з кожного рівняння член а, щоб знайти q^6 та q^14:

a * (q^6 + q^20) = 4

a * (q^3 + q^17) = -20

q^6 + q^20 = (q^3 + q^17) * (q^3 - q^17)

q^6 + q^20 = q^6 * (1 - q^14)

(1 - q^14) = (q^3 + q^17) / (1 + q^6)

(1 - q^14) = (q^3 + q^17) / (1 + q^6)

q^6 + q^20 = q^6 * (1 - q^14)

q^6 * q^14 = 1

q = (1)^(1/20)

q = 1

Таким чином, знаменник q дорівнює одиниці. Підставимо це значення в будь-який з виразів для знаходження значення першого члена:

a * q^6 + a * q^20 = 4

a + a = 4

2a = 4

a = 2

Тепер ми можемо знайти суму перших п'яти членів геометричної прогресії, використовуючи формулу:

S5 = a * (q^5 - 1) / (q - 1)

S5 = 2 * ((1^5 - 1) / (1 - 1))

S5 = 2 * 0

S5 = 0

Отже, перший член геометричної прогресії дорівнює 2, а сума її перших п'яти членів дорівнює 0.