Question

Помогите, пожалуйста, с пределами

Answer 1

Ответ:

Пределы .

а)  Раскладываем на множители квадратные трёхчлены .

$\bf \lim\limits _{x \to 2}\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-12x+20}=\Big[\ \dfrac{0}{0}\ \Big]=\lim\limits _{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-10)}=\lim\limits _{x \to 2}\dfrac{x-3}{x-10}=\\\\=\dfrac{2-3}{2-10}=\dfrac{1}{8}$

б) Заменяем бесконечно малые функции на эквивалентные им :

$\bf arctg\alpha (x)\sim \alpha (x)\ \ ,\ \ sin\alpha (x)\sim \alpha (x)\ \ ,\ \alpha (x)\to 0$  

$\bf \lim\limits _{x \to \pi }\ \dfrac{arctgx-\pi }{x\cdot sin(x-\pi )}=\Big[\ \dfrac{0}{0}\ \Big]=\lim\limits _{x \to \pi }\ \dfrac{x-\pi }{x\cdot (x-\pi )}=\lim\limits _{x \to \pi }\ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{\pi }$  

в)  Применяем 2 замечательный предел

$\bf \lim\limits _{x \to 0}\ (1+x)^{\frac{3}{x}}=\Big[\, 1^{\infty }\, \Big]=\lim\limits _{x \to 0}\Big((1+x)^{\frac{1}{x}}\Big)^3=e^3$