Question

зная что sin a- cos a=m найдите sin³ a-cos³ a​

Answer 1

Преобразуем заданное выражение:

$\sin^3 a-\cos^3 a=(\sin a-\cos a)(\cos^2a+\sin a\cos a+\sin^2a)$

Используя основное тригонометрическое тождество, перепишем:

$\sin^3 a-\cos^3 a=(\sin a-\cos a)(1+\sin a\cos a)$

Первый множитель в полученном соотношении известен по условию:

$\boxed{\sin a- \cos a=m}$

Второй множитель пока неизвестен. Чтобы его выразить, возведем обе части известного соотношения в квадрат:

$(\sin a- \cos a)^2=m^2$

$\sin^2 a+ \cos^2 a-2\sin a\cos a=m^2$

$1-2\sin a\cos a=m^2$

$2\sin a\cos a=1-m^2$

$\boxed{\sin a\cos a=\dfrac{1-m^2}{2}}$

Подставим в ранее полученное соотношение:

$\sin^3 a-\cos^3 a=m\cdot\left(1+\dfrac{1-m^2}{2}\right)$

$\sin^3 a-\cos^3 a=m\cdot\dfrac{2+1-m^2}{2}$

$\Rightarrow\boxed{\sin^3 a-\cos^3 a=\dfrac{m(3-m^2)}{2}}$