Ответы
Ответ:
Преобразуем выражение sin(2x+5п/4) tg x=2/3, используя формулу тангенса двойного угла:
sin(2x+5п/4) tg x = 2/3
sin(2x+5п/4) sin x/cos x = 2/3
sin(2x+5п/4) sin x = 2/3 cos x
2sinxcosxsin(2x+5п/4) = 2/3 cos x
sin(4x+5п/2) = 2/3 cos x
Теперь применим теорему Пифагора: sin^2 + cos^2 = 1, чтобы выразить cos x через sin x:
sin^2 x + cos^2 x = 1
cos^2 x = 1 - sin^2 x
Подставляем это выражение в последнее уравнение:
sin(4x+5п/2) = 2/3 √(1 - sin^2 x)
Возводим обе части уравнения в квадрат:
sin^2 (4x+5п/2) = 4/9 (1 - sin^2 x)
Заменяем sin^2 (4x+5п/2) на cos^2 (4x+п/2), используя формулу синуса двойного угла:
cos^2 (4x+п/2) = 4/9 (1 - sin^2 x)
Теперь заменяем cos^2 (4x+п/2) на 1 - sin^2 (4x+п/2), используя теорему Пифагора:
1 - sin^2 (4x+п/2) = 4/9 (1 - sin^2 x)
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
5/9 sin^2 (4x+п/2) = 4/9
sin^2 (4x+п/2) = 4/5
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
sin (4x+п/2) = ±2/√5
Так как sin (4x+п/2) не может быть больше 1 или меньше -1, то получаем только одно решение:
sin (4x+п/2) = 2/√5
Теперь используем формулу синуса половинного угла, чтобы выразить sin x через sin(4x+п/2):
sin x = ±√(1-cos(4x+п))/2
Заменяем cos(4x+п) на -cos(4x):
sin x = ±√(1+cos(4x))/2
Теперь заменяем cos(4x) на 1-2sin^2(2x), используя формулу косинуса двойного угла:
sin x = ±√(1+(1-2sin^2(2x)))/2
sin x = ±√(2-2sin^2(2x))/2
sin x = ±√(1-sin^2(2x))
Таким образом, мы получили выражение для sin x через sin(2x). Теперь можно решить уравнение, заменив sin x на это выражение:
±√(1-sin^2(2x)) = 2/√5
Возводим обе части уравнения в квадрат:
1-sin^2(2x) = 4/5
sin^2(2x) = 1/5
sin(2x) = ±√(1/5)
Таким образом, получаем два решения:
sin(2x) = √(1/5)
sin(2x) = -√(1/5)
Решая эти уравнения, получаем:
2x = arcsin(√(1/5))/2 + kп
2x = π - arcsin(√(1/5))/2 + kп
2x = -arcsin(√(1/5))/2 + kп
2x = -π + arcsin(√(1/5))/2 + kп
где k - целое число. Теперь можно найти значения x:
x = (arcsin(√(1/5))/4 + kп/2
x = (π - arcsin(√(1/5))/4 + kп/2
x = (-arcsin(√(1/5))/4 + kп/2
x = (-π + arcsin(√(1/5))/4 + kп/2
Таким образом, мы получили четыре решения уравнения sin(2x+5п/4) tg x=2/3.