3. Навколо прямокутного ∆ АВС з катетами 12 см і 5 см, та гіпотенузою 13 см описане коло. Знайдіть радіус цього кола. 4. В прямокутний ∆ АВС з катетами 3 см і 4 см, та гіпотенузою 5 см вписане коло. Знайдіть його радіус. 5. Довжина кола = 12 ,56 см. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом. 6. В ∆ АВС вписане коло. До сторони АВ коло дотикається в точці М, до сторони ВС в точці N, до сторони АС в точці К. Знайти відстань відрізка КС, якщо AM = 4 см, BN = 3 см, а периметр ∆ ABC = 35 см.
Ответы
Ответ:
4. Радиус описанного круга прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то есть 13/2 = 6,5 см.
5. Длина окружности равна 2πr, где r - радиус круга. Тогда радиус круга можно выразить как r = длина окружности / 2π = 12,56 см / (2 3,14) ≈ 2 см. Площадь круга равна πr², то есть π 2² ≈ 12,57 см².
6. Радиус вписанного круга можно найти по формуле r = S / p, где S - площадь треугольника, p - его полупериметр. Так как треугольник ABC вписан в круг, то AM, BN и CK являются биссектрисами углов треугольника, и точки M, N и K делят стороны на отрезки пропорционально их длинам. Тогда AM/MB = AK/KC = 4/x, BN/NC = 3/x, где x - длина отрезка KC. Сумма этих отношений равна единице: AM/MB + AK/KC + BN/NC = 4/x + x/(35-4-x) + 3/(35-3-x) = 1. Решив это уравнение, получим x ≈ 9,7 см. Тогда радиус вписанного круга можно найти как r = S / p = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) / p, где a, b и c - длины сторон треугольника, p - его полупериметр. Подставив известные значения, получим r ≈ 1,9 см. Отрезок KC является высотой треугольника АКС, опущенной на сторону АС. Его длина равна S/AC, где S - площадь треугольника АКС. Так как треугольник АКС подобен треугольнику ABC, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Тогда KS/KC = SK/BC = (p-a)/p, где BC - основание треугольника АКС. Подставив известные значения и решив уравнение, получим KS ≈ 2,6 см.