Question

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30º. Биссектриса другого острого угла равна 4. Найдите гипотенузу треугольника. ​

Answer 1

Объяснение:

Пусть в прямоугольном треугольнике острый угол, не равный 30º, имеет меру α. Тогда биссектриса этого угла равна половине гипотенузы, умноженной на косинус угла α/2.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180º, а значит, что мера третьего угла равна 90º - 30º - α/2 = 60º - α/2. Так как биссектриса этого угла равна 4, то мы можем записать:

tg(α/4) = 4/(гипотенуза/2)

tg(α/4) = 8/гипотенуза

С другой стороны, мы знаем, что tg(α) = tg(90º - 30º - α/2) = cotg(α/2) - √3. Подставляя значение тангенса, получаем уравнение:

8/гипотенуза = cotg(α/2) - √3

Решая это уравнение, мы найдем:

гипотенуза = 8/((cotg(α/2)) - √3)

Таким образом, чтобы найти гипотенузу треугольника, нам нужно найти котангенс половины меры угла, биссектрису которого мы знаем.

Answer 2

Відповідь:     АВ = 4√3 .

Пояснення:

   У прямок. ΔАВС   ∠С = 90° ;  ∠А = 30° ; ВМ - бісектриса ∠В ;

   ВМ = 4 .  ∠АВС = 90° - ∠А = 90° - 30° = 60° .            

   ∠АВМ = ∠СВМ = 1/2 ∠АВС = 1/2 * 60° = 30° .

    ΔАВМ - рівнобедрений , бо внього два кути по 30° , тому

    АМ = ВМ = 4 . У прямок. ΔВМС   ∠СВМ = 30° , тому  МС = 1/2 ВМ =

   = 1/2 * 4 = 2 .    ВС = ВМ * сos30° = 4 * √3/2 = 2√3 .

     У прямок. ΔАВС   ∠A = 30°, тому ВС = 1/2 АВ ;

     АВ = 2* ВС = 2* 2√3 = 4√3 ;   АВ = 4√3 .