Question

natalyabryukhova
Найдите значение вторых производных в критической точкеМ0 функции z=(x-5)²+y²+1​

Answer 1

Ответ:

В критической точке М(5; 0) функция имеет минимум.

z min = 1

Пошаговое объяснение:

Найдите значение вторых производных в критической точке М₀ функции z=(x-5)²+y²+1​

Вычислим частные производные первого порядка:

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =2(x-5);\;\;\;\;\;\frac{\partial z}{\partial y} =2y$

Найдем координаты критической точки. Для этого решим систему:

$\displaystyle \left \{ {{2(x-5} )=0\atop {2y=0}} \right. \;\;\;\iff\;\;\;\left \{ {{x=5} \atop {y=0}} \right.$

Получили точку М(5; 0)

Найдем вторую производную:

$\displaystyle A=\frac{\partial ^2z}{\partial x^2} =2;\;\;\;B=\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=0;\;\;\;\;\;C=\frac{\partial ^2z}{\partial y^2} =2$

Δ = AC - B²

$\displaystyle \Delta=2\cdot 2-0^2=4$

Если A > 0, Δ > 0 - точка минимума.

z min = (5 - 5)² + 0² + 1 = 1