Question

1+cos2x=(cos2x+sin2x)^2

Answer 1

$1+\cos2x=(\cos2x+\sin2x)^2$

В правой части выполним возведение в квадрат:

$1+\cos2x=\cos^22x+\sin^22x+2\cos 2x\sin2 x$

В этой же части воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$1+\cos2x=1+2\cos 2x\sin2 x$

$\cos2x=2\cos 2x\sin2 x$

$\cos2x-2\cos 2x\sin2 x=0$

$\cos2x(1-2\sin2 x)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$\left[\begin{array}{l} \cos2x=0 \\ 1-2\sin2 x=0\end{array}\right.$

Решаем первое уравнение:

$\cos2x=0$

$2x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n$

$x=\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$1-2\sin2 x=0$

$2\sin2 x=1$

$\sin2 x=\dfrac{1}{2}$

$2 x=(-1)^k\dfrac{\pi }{6} +\pi k$

$x=(-1)^k\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi k}{2} .\ k\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2};\ (-1)^k\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi k}{2} .\ n,k\in\mathbb{Z}$