коло з центром О вписане в трикутник ABC, дотикається до сторони AB трикутника в точці M кут MBO дорівнює 21°. знайти кут ABC. помогите пожалуйста :((
Ответы
Ответ: Нехай коло з центром O торкається сторони AC у точці N і сторони BC у точці P, а кут ABC позначимо x.
Оскільки коло вписано в трикутник ABC, ми знаємо, що всі OM, ON і OP є радіусами кола, а тому мають однакову довжину. Позначимо цю спільну довжину через r.
Оскільки OM перпендикуляр до AB, ми знаємо, що кут OMB є прямим. Отже, маємо кут MOB = 90 - кут MBO = 90 - 21 = 69 градусів.
Так само, оскільки ON перпендикулярний до AC, ми маємо кут NOC = 90 градусів. Отже, кут BOC = кут MOB + кут NOC = 69 + 90 = 159 градусів.
Оскільки OP також є радіусом кола, ми маємо OP = r. Нехай Q — точка на прямій BC така, що PQ перпендикулярна до BC. Тоді кут OPQ = 90 градусів, а трикутник OPQ — прямокутний.
Використовуючи тригонометрію, ми можемо знайти PQ через r і x. Ми маємо:
tan(x/2) = PQ/OP = PQ/r
Отже, PQ = r*tan(x/2).
Оскільки трикутник MPQ є прямокутним трикутником, ми можемо скористатися теоремою Піфагора, щоб знайти MQ через r і x:
MQ^2 = MP^2 + PQ^2 = (AB/2)^2 + (r*tan(x/2))^2
Тепер ми можемо використати той факт, що коло вписано в трикутник ABC, щоб написати рівняння:
AM + MB + AC = AB + MC + AC
Спрощуючи це рівняння, використовуючи той факт, що AM = MC, ми отримуємо:
MB = (AB - AC + 2*MC)/2
Підставляючи значення MC з рівняння вище, ми отримуємо:
MB = (AB - AC + 2*(sqrt(MQ^2 - MP^2)))/2
Підставляючи вище вирази для MP і MQ і спрощуючи, отримуємо:
MB = (AB - AC + 2sqrt((AB/2)^2 - r^2tan^2(x/2)))/2
Тепер ми можемо використати той факт, що MB є дотичною до кола в точці M, щоб написати рівняння:
кут MBN = кут MOB + кут BOC/2 = 69 + 159/2 = 198 градусів
Використовуючи той факт, що кут MBN і кут ABC є додатковими, можна записати рівняння:
кут ABC = 180 - кут MBN = 180 - 198 = 18 градусів
Отже, кут АВС дорівнює 18 градусів.