Коло з центром О вписане в трикутник ABC, дотикається до сторони АВ трикутника в точці М Кут MBO дорівнює 21°.. Знайти кут ABC.
Ответы
Відповідь:
За визначенням, коло з центром О вписане в трикутник ABC, якщо воно дотикається до всіх його сторін. Тоді точки дотику кола зі сторонами трикутника утворюють трикутник MNO, який називається трикутником дотику. За властивістю трикутника і вписаного в нього кола, довжини відрізків сторін трикутника до точок дотику рівні між собою. Тобто, AN = AM, BN = BM і CN = CO. Звідси можна знайти довжини сторін трикутника ABC:
AB = AN + BN = AM + BM
BC = BN + CN = BM + CO
CA = CN + AN = CO + AM
Застосувавши теорему косинусів до трикутника ABC, можна отримати:
cos(ABC) = (AB^2 + BC^2 - CA^2) / (2 * AB * BC)
Підставивши знайдені довжини сторін, отримаємо:
cos(ABC) = ((AM + BM)^2 + (BM + CO)^2 - (CO + AM)^2) / (2 * (AM + BM) * (BM + CO))
Скориставшись тим, що кут MBO дорівнює 21° за умовою і що кут OMB дорівнює куту OMC за властивостями вписаного кута, можна знайти радіус r вписаного кола за формулою:
r = BM / sin(OMB) = BM / sin(OMC)
Тоді можна спростити вираз для cos(ABC), використовуючи r:
cos(ABC) = ((r * sin(OMB) + r * sin(OMC))^2 + (r * sin(OMC))^2 - (r * sin(OMB))^2) / (2 * (r * sin(OMB) + r * sin(OMC)) * (r * sin(OMC)))
cos(ABC) = (sin(OMB) + sin(OMC))^2 - sin(OMB)^2 / (2 * (sin(OMB) + sin(OMC)) * sin(OMC))
cos(ABC) = (sin(OMB) + sin(OMC)) / (2 * sin(OMC))
Знаючи значення кута OMB, можна обчислити значення кута OMC за формулою:
sin(OMC) = sin(180° - OMB - MBO) = sin(OBM)
sin(OBM) = sin(OBM - 90° + 90°) = cos(OBM - 90°)
cos(OBM - 90°) = cos(-90° - MBO) = -sin(MBO)
sin(OBM) = -sin(MBO)
sin(OBM) = -sin(-21°)
sin(OBM) ≈ -0.358
Тоді можна обчислити значення кута ABC за формулою:
cos(ABC) = (sin(-21°) + sin(-0.358)) / (2 * (-0.358))
cos(ABC) ≈ 0.999
ABC ≈ arccos(0.999)
ABC ≈ 0.045°