Question

Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит в начале координат, вторая на положительной полуоси ОХ, третья на положительной полуоси ОУ, а четвёртая на параболе у=4-х2. Выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найдите эту площадь. Запишите решение и ответ.

Answer 1

Ответ:

Пусть стороны прямоугольника имеют длины $x$ и $y$. Тогда координаты вершин прямоугольника: $(0,0), (x,0), (0,y), (x,y)$. Так как третья вершина находится на параболе $y=4-x^2$, то $y=4-x^2$.

Таким образом, мы имеем прямоугольник со сторонами $x$ и $4-x^2$, его площадь равна $S=x(4-x^2)=4x-x^3$. Найдем максимум этой функции, взяв производную и приравняв её к нулю:

Таким образом, стороны прямоугольника равны $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$, его площадь равна $S = \frac{8\sqrt{3}}{9} - \frac{8}{27} \approx 2,359$. Ответ: площадь прямоугольника с наибольшей площадью равна $\frac{8\sqrt{3}}{9} - \frac{8}{27}$.