В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 30 , а основание равно 36 . Вычислить расстояние
между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
Ответы
Ответ:
1.
Объяснение:
Дан треугольник со сторонами 30, 30, 36. Чтобы упростить вычисления, рассмотрим подобный треугольник ABC, чьи стороны в 6 раз меньше: AB=BC=5; AC=6. Поскольку треугольник равнобедренный, высота, медиана и биссектриса, проведённые из вершины B, совпадают - на чертеже это отрезок BD. Поэтому точка G пересечения медиан и точка I пересечения биссектрис лежат на BD.
Треугольник ABD - прямоугольный с гипотенузой AB=5 и катетом AD=AC/2=3, поэтому BD=4 (кто не понял, что это известный египетский треугольник, может найти BD по теореме Пифагора:
BD²=AB²-AD²=25-9=16; BD=4).
Как известно, медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, откуда следует, что GD это одна треть BD, то есть GD=4/3.
Как известно, биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам, а поскольку биссектриса угла A треугольника ABC является одновременно биссектрисой угла A треугольника ABD,
Это означает, что BI=5t; ID=3t⇒BD=BI+ID=5t+3t=8t=4; t=1/2; ID=3/2.
Итак, GD=4/3; ID=3/2⇒ GI=3/2-4/3=1/6.
Мы нашли требуемое расстояние для треугольника, подобного нашему, со сторонами, в 6 раз меньшими сторон исходного треугольника. Поэтому, чтобы найти требуемое расстояние для исходного треугольника, нужно полученное расстояние увеличить в 6 раз. Получаем ответ в задаче: 1.
