Задан равносторонний треугольник ABC, в который вписана окружность радиусом 3√3. Найдите:
а) площадь треугольника;
б) радиус описанной около треугольника ABC окружности;
в) длину меньшей дуги AB.
Ответы
а) Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: S = (a^2 * √3) / 4, где a - длина стороны треугольника.
В данном случае, радиус вписанной окружности равен 3√3, то есть длина высоты, проведенной к одной из сторон равна 6. Значит, длина стороны равногостороннего треугольника a = 12. Подставляя значение a в формулу, получаем: S = (12^2 * √3) / 4 = 36√3.
б) Радиус описанной около треугольника abc окружности равен половине длины стороны умноженной на √3. То есть, R = (a/2) * √3.
Значение длины стороны a мы уже нашли выше, оно равно 12. Подставляем в формулу, получаем: R = (12/2) * √3 = 6√3.
в) Длина меньшей дуги ab можно найти по формуле: L = r * α, где r - радиус окружности, описанной вокруг треугольника, α - центральный угол, соответствующий данной дуге.
Угол α можно найти из равенства: α = (длина дуги ab / длина окружности) * 2π. Длина окружности равна 2πR, где R - радиус описанной около треугольника окружности.
Подставляя значения R и длины дуги ab, получаем: α = (L / 2πR) * 2π = L / R.
Значение R мы уже нашли выше, оно равно 6√3. Осталось найти длину дуги ab.
Для этого можно воспользоваться равенством между длиной дуги и центральным углом: L = R * α. Угол α равен 60 градусов (так как треугольник равносторонний). Переводим градусы в радианы: α = 60 * π / 180 = π / 3.
Подставляем найденные значения: L = 6√3 * (π / 3) = 2√3π. Ответ: длина меньшей дуги ab равна 2√3π.