Функція розподілу випадкової величини & задається формулою:
F(x) =
0 х<-1
(х+1)/2 x є (-1;1]
1 x>1
Обчислити моду, медіану, математичне сподівання та дисперсію випадкової величини &
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
У даному випадку, можливі значення випадкової величини & лежать в інтервалі (-1, 1]. Для випадків, коли функція розподілу має ступінчасту форму, як у цьому випадку, модою вважаються значення в точках, де функція розподілу має різкий скачок.
Так як функція розподілу має значення 0 для x < -1, то значення & на цьому інтервалі не враховується. Таким чином, можливі значення випадкової величини лежать в інтервалі (-1, 1], а функція розподілу зростає від 0 до 1. Точка 0 є серединою цього інтервалу, тому модою є 0.
Щоб знайти медіану, потрібно знайти значення x, для якого F(x) = 0.5. За формулою функції розподілу, якщо x належить інтервалу (-1, 1], то F(x) = (x + 1) / 2. Тому, щоб знайти медіану, ми повинні вирішити рівняння:
(x + 1) / 2 = 0.5
x + 1 = 1
x = 0
Таким чином, медіана дорівнює 0.
математичне сподівання:
E(&) = ∫x f(x) dx по всіх значеннях x
E(&) = ∫(-1,1] x (1/2) dx = [x^2/4]_(-1,1] = (1^2/4 - (-1)^2/4) = 1/2.
Тепер знайдемо дисперсію:
Var(&) = E((& - E(&))^2) = E(&^2) - (E(&))^2
E(&^2) = ∫x^2 f(x) dx по всіх значеннях x
E(&^2) = ∫(-1,1] x^2 (1/2) dx = [x^3/6]_(-1,1] = (1/6 - (-1/6)) = 1/3
Отже,
Var(&) = E(&^2) - (E(&))^2 = 1/3 - (1/2)^2 = 1/12.