Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить
гіпотенузу на відрізки, різниця між якими дорівнює 5см. Знайдіть площу
цього трикутника, якщо його катети відносяться як 3:4.
ДАЮ 20 БАЛОВ
Ответы
Ответ:
Позначимо катети прямокутного трикутника через a та b. Тоді за умовою задачі можна записати:
b/a = 4/3
Знайдемо відрізки гіпотенузи, на які поділяє її бісектриса. Позначимо їх через x та y. Оскільки бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на дві рівні частини, то:
x = y
За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника:
a^2 + b^2 = c^2,
де c - гіпотенуза. Підставляємо в цю формулу відповідне вирази для катетів та гіпотенузи:
a^2 + (4/3a)^2 = (5/3x)^2
Розв'язуючи це рівняння відносно х, маємо:
x = 3a
Тоді другий відрізок гіпотенузи:
y = 2x - 5 = 2(3a) - 5 = 6a - 5
Знайдемо тепер катети трикутника, використовуючи відношення:
a/b = 3/4
Отже, b = (4/3)a.
Тепер можемо знайти площу трикутника за формулою:
S = (1/2)ab
Підставляємо відповідні значення та скорочуємо спільний множник 1/2:
S = (1/2)ab = (1/2)a(4/3)a = (2/3)a^2
Залишилося знайти a, щоб отримати площу трикутника. Зробимо це, підставивши b = (4/3)a в теорему Піфагора:
a^2 + (4/3a)^2 = c^2
9a^2 + 16a^2/9 = c^2
Помножимо обидві частини рівності на 9, щоб позбутися знаменника:
81a^2 + 16a^2 = 9c^2
97a^2 = 9c^2
a^2 = (9/97)c^2
Тепер можна знайти площу трикутника:
S = (2/3)a^2 = (2/3)(9/97)c^2 = (6/97)c^2
Отже, площа прямокутного трикутника дорівнює