Question

Розв'яжіть рівняння
$\sqrt[4]{x - 2} + 3 \sqrt{2 - x} = {x}^{3} - 5x + 6$
​

Answer 1

$\sqrt[4]{x - 2} + 3 \sqrt{2 - x} = {x}^{3} - 5x + 6$

Начнем с ОДЗ. Выражения, стоящие под знаками корня 4 степени и квадратного корня, должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x-2\geqslant 0\\ 2-x\geqslant 0\end{cases}$

$\begin{cases} x\geqslant 2\\ -x\geqslant -2\end{cases}$

$\begin{cases} x\geqslant 2\\ x\leqslant 2\end{cases}$

Дорешивая систему, мы понимаем, что область допустимых значений состоит из одного числа: $x\in\{2\}$.

Таким образом, если уравнение и имеет какие-то корни, то этот корень единственный - число 2. Достаточно подставить это число в заданное уравнение и проверить, получится ли после этого верное равенство.

Подставляем в исходное уравнение $x=2$:

$\sqrt[4]{2 - 2} + 3\cdot \sqrt{2 - 2} = 2^3 - 5\cdot2 + 6$

$0 + 3\cdot 0= 8 - 10 + 6$

$0 = 4$

Получили неверное равенство. Значит, число 2 не является корнем заданного уравнения, а других корней у этого уравнения быть не может, как следует из найденной ОДЗ.

Следовательно, заданное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней