Около треугольника АВС описана окружность. Биссектрисы его углов вторично пересекают окружность в точках 41, В1, С, соответственно. Доказать, что прямые
AA,, BB,CC, перепендикулярны сторонам треугольника 4,В,С,
Ответы
Ответ:
Для начала заметим, что точки В и В1 симметричны относительно прямой AC, так как являются точками пересечения биссектрис угла В. Также заметим, что точка 41 лежит на биссектрисе угла АСВ, так как является точкой пересечения окружности с описанным треугольником.
Рассмотрим треугольник 4, В, С и его высоту из вершины В1. Обозначим точку пересечения этой высоты с прямой АС за X. Тогда, так как треугольник 4, В, С является прямоугольным, то В1X является медианой и высотой этого треугольника. Значит, точки В1, X, С лежат на одной прямой.
Также заметим, что точки В1, В и С лежат на одной окружности, так как являются точками пересечения биссектрис углов треугольника АВС.
Из этих фактов следует, что прямая В1X является биссектрисой угла В1СВ, а значит, точка 41 лежит на этой прямой. Также, так как прямая AC является биссектрисой угла АСВ, она перпендикулярна прямой В1X, а значит, перпендикулярна стороне 4С.
Аналогично можно доказать, что прямые AA, BB также перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника 4ВС.