Бюджет підприємства становить 2000 грн. Воно виробляє продукцію за технологією Q = L0,3K0,7, при цінах на фактори виробництва PL=30, PK=50
Визначити за яких обсягів використання праці і капіталу випуск продукції підприємства буде максимальним?
Як зміниться капіталоозброєність праці на підприємстві, якщо ціна капіталу зросте в 3 рази?
Ответы
Ответ:
Для визначення обсягів використання праці і капіталу, при яких випуск продукції буде максимальним, потрібно знайти показник економії факторів виробництва:
E = Q/(L^0.3 * K^0.7)
Запишемо бюджет підприємства в загальному вигляді:
P_L * L + P_K * K = 2000
Підставимо значення цін та технології:
30L + 50K = 2000
L = (2000 - 50K)/30
Підставимо це значення в формулу економії факторів:
E(K) = Q/[(2000 - 50K)/30]^0.3 * K^0.7
Для максимізації випуску продукції, потрібно знайти максимум цієї функції. Для цього можна використати метод диференційованого підрахунку:
E'(K) = 0
Знайдемо похідну функції:
E'(K) = (0.7 * Q)/[(2000 - 50K)/30]^0.3 * K^1.7 - (0.3 * Q * 50)/[(2000 - 50K)/30]^1.3 * K^0.7
Прирівнюємо до нуля:
0.7 * K = 10 * (2000 - 50K)/30
21K = 20000 - 500K
521K = 20000
K ≈ 38.37
Отже, оптимальний обсяг використання капіталу дорівнює приблизно 38,37 одиницям. Підставимо це значення в формулу для визначення обсягу використання праці:
L = (2000 - 50K)/30 ≈ 27.21
Отже, оптимальний обсяг використання праці дорівнює приблизно 27,21 одиницям.
Якщо ціна капіталу зросте в 3 рази, тоді ціна на капітал становитиме 150 грн. Запишемо бюджет підприємства з новими цінами:
30L + 150K = 2000
L = (2000 - 150K)/30
Підставимо ці значення в формулу економії факторів:
E(K) = Q/[(2000 - 150K)/30]^0.3 * K^0.7
Порівнюючи цю формулу з попередньою, бачимо, що єдине, що змінилося - це зміна ціни на капітал. Отже, можемо записати:
E(K) = [(50/150)^0.3 * Q]/[(2000/150 - K)/30]^0.3 * K^0.7
E(K) = [(1/3)^0.3 * Q]/[(2000/150 - K)/30]^0.3 * K^0.7
Отже, капіталоозброєність праці зменшиться, тому що використання капіталу стане менш доцільним через зростання ціни.