3. Знайдіть три послідовних
натуральних числа, якщо потроєний
квадрат меншого з них на130 більший
за суму квадратів двох інших.
Ответы
Відповідь:
Позначимо три послідовні натуральні числа як (n-1), n та (n+1), де n - це середнє число з трьох послідовних чисел.
Згідно з умовою, потроєний квадрат меншого з цих чисел (n-1) на 130 більший за суму квадратів двох інших чисел (n і (n+1)):
3*(n-1)^2 = (n^2 + (n+1)^2) + 130.
Розкриваємо квадрати та спрощуємо вираз:
3n^2 - 6n + 3 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + 130.
Об'єднуємо подібні доданки:
3n^2 - 6n + 3 = 2n^2 + 2n + 131.
Віднімаємо від обох боків рівняння 2n^2, -2n та 131:
n^2 - 8n + 3 = 0.
Застосовуємо квадратне рівняння:
n = (8 ± √(8^2 - 413)) / (2*1).
n = (8 ± √(64 - 12)) / 2.
n = (8 ± √52) / 2.
n = 4 ± √13.
Таким чином, два можливих значення для n є 4 + √13 та 4 - √13.
Отже, три послідовні натуральні числа можуть бути (4 + √13 - 1), 4 та (4 + √13 + 1), або (4 - √13 - 1), 4 та (4 - √13 + 1)