Question

50 БАЛІВ знайдіть точки екстремум і екстримальні значенняфункції у=х+1/х

Answer 1

Для знаходження точок екстремум спершу знайдемо похідну функції у по змінній х:

у' = 1 - 1/x^2

Розв'язуючи рівняння у' = 0, знаходимо критичні точки:

1 - 1/x^2 = 0

x^2 = 1

x = ±1

Таким чином, функція має критичні точки в точках x = 1 та x = -1.

Щоб визначити, чи є ці точки екстремумами, використаємо другу похідну:

у'' = 2/x^3

При x = 1, друга похідна дорівнює 2, тому точка x = 1 є точкою мінімуму. При x = -1, друга похідна дорівнює -2, тому точка x = -1 є точкою максимуму.

Таким чином, точка x = 1 є точкою мінімуму функції, а точка x = -1 є точкою максимуму.

Для знаходження екстремальних значень функції можемо підставити знайдені критичні точки у формулу функції:

у(1) = 1 + 1/1 = 2

у(-1) = -1 + 1/-1 = -2

Таким чином, екстремальні значення функції -2 та 2.