Дано точки А(-3; 1), B(1; −2), С(-1; 0). Знайдіть:
1) координати векторів AB і AC;
2) модулі векторів AB і AC;
3) координати вектора МК = 2AB-3AC;
4) скалярний добуток векторів АВ і АС;
5) косинус кута ВАС.
Ответы
Пошаговое объяснение:
1) Координати векторів AB і AC можна знайти, віднімаючи координати початкової точки від координат кінцевої точки відповідного вектора:
AB = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)
AC = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)
2) Модуль вектора - це довжина вектора, і визначається за формулою:
|AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
|AC| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
де x1, y1 - координати початкової точки вектора, x2, y2 - координати кінцевої точки вектора.
Отже, модулі векторів AB і AC будуть відповідно:
|AB| = sqrt((4 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2) = sqrt(49 + 9) = sqrt(58)
|AC| = sqrt((2 - (-3))^2 + (0 - 1)^2) = sqrt(25 + 1) = sqrt(26)
3) Координати вектора МК можна знайти, використовуючи формулу:
MK = 2AB - 3AC
MK = 2(4; -3) - 3(2; -1)
MK = (8; -6) - (6; -3)
MK = (2; -3)
Отже, координати вектора МК дорівнюють (2; -3).
4) Скалярний добуток векторів AB і AC визначається за формулою:
AB * AC = x1 * x2 + y1 * y2
де x1, y1 - координати початкової точки вектора AB, x2, y2 - координати початкової точки вектора AC.
Отже, скалярний добуток векторів AB і AC буде:
AB * AC = (-3 * (-1) + 1 * 0) = 3
5) Косинус кута між векторами можна знайти за формулою:
cos(α) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|)
де AB * AC - скалярний добуток векторів AB і AC, |AB| і |AC| - модулі векторів AB і AC.
Отже, косинус кута ВАС буде:
cos(α) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|) = 3 / (sqrt(58) * sqrt(26)) = 3 / sqrt(1508)