Question

Фермер хочет оградить прямоугольный участок по одну сторону реки, таким образом, что река будет огораживать одну из сторон загона.
Общая длина имеющегося штакетника составляет 96 метров. Пусть у метров длина и х метров ширина этого прямоугольного участка соответственно, а S - его площадь.

а) Выразите у через х.
b) Найдите выражение для S через х, указав ограничения для х.
c) При каких размерах площадь участка будет максимальной?

Answer 1

Ответ: a) Периметр прямоугольника равен сумме длины всех его сторон, то есть:

2м + х + х = 96

Решив это уравнение относительно х, получим:

2х = 96 - 2м

х = (96 - 2м)/2

б) Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину, то есть:

S = м * х

Подставив выражение для х из пункта (a), получим:

S = м * (96 - 2м)/2

S = 48м - м^2

Ограничения для х: так как длина прямоугольника не может быть больше 96 метров, то

0 < х < 48

с) Чтобы найти максимальную площадь прямоугольника, нужно найти максимум функции площади, то есть производной от функции площади приравнять к нулю:

dS/dм = 48 - 2м

48 - 2м = 0

м = 24

Таким образом, размеры прямоугольного участка должны быть 24 м на (96 - 2*24)/2 = 24 м, чтобы его площадь была максимальной.