Question

Прямые AB и CK пересекаются в точке M. Отрезок MT перпендикулярен CK(точка T лежит в одной полуплоскости с точкой B относительно прямой CK). Биссектриса угла KMT составляет с лучом MB угол равный 107°. Найдите угол AMK

Answer 1

Ответ: угол AMK равен 22.5°.

Пошаговое объяснение: Пусть угол AMK равен x. Тогда, так как MB является биссектрисой угла KMT, угол TMB равен 2x. Также угол TMB равен 180° - (90° + MCK), то есть MCK равен 90° - 2x.

Так как AM является медианой треугольника ACK, она делит CK пополам, а значит, угол AMK равен углу AMC, который в свою очередь равен 180° - ACK. Следовательно,

x + (90° - 2x) + (180° - ACK) = 180°,

откуда выражаем ACK = 90° - x.

Далее, по теореме синусов в треугольнике AMK:

sin(x) / KT = sin(107°) / MB.

С другой стороны, в треугольнике CKT:

sin(MCK) / KT = sin(TMB) / MB,

или

sin(90° - 2x) / KT = sin(2x) / MB,

откуда

cos(2x) / sin(90° - 2x) = KT / MB.

Используя тригонометрический тангенс, имеем:

tan(x) = KT / AM и

tan(90° - 2x) = MB / AM.

Отсюда

KT = AM * tan(x) и MB = AM * tan(90° - 2x) = AM * cot(2x).

Тогда

cos(2x) / sin(90° - 2x) = KT / MB = (AM * tan(x)) / (AM * cot(2x)) = tan(x) * cot(2x) = 1 / 2,

где мы воспользовались тригонометрической формулой:

tan(x) * cot(2x) = 1/2 * (tan(x) + cot(2x)) * (cos(2x) / sin(90° - 2x)).

Решая это уравнение относительно cos(2x), получаем:

cos(2x) = sqrt(2) / 2.

Значит, 2x = 45° и x = 22.5°.

Итак, угол AMK равен 22.5°.