3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны 8 см. Вершина Р пирамиды удалена от плоскости основания на 4 см. Найдите величину двугранного угла, обра- зованного боковой гранью и основанием этой пирамиды.
Ответы
Відповідь:
72.7°
Пояснення:
Для решения задачи нам необходимо найти высоту боковой грани пирамиды, которая соединяет вершину P с основанием ABCD, а затем найти синус половины искомого двугранного угла.
Обозначим через O центр основания ABCD. Тогда вершина P пирамиды лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины O на плоскость ABCD. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью ABCD через H.
Треугольник PAH является прямоугольным, поэтому можно воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины PH:
PH^2 = PA^2 - AH^2 = 8^2 - 4^2 = 48
PH = sqrt(48) = 4*sqrt(3)
Теперь рассмотрим треугольник PBC, в котором мы можем найти угол BPC, обозначенный через α, используя теорему косинусов:
BC^2 = BP^2 + PC^2 - 2BPPCcos(α)
8^2 = 8^2 + 8^2 - 288cos(α)
cos(α) = (8^2 - 8^2 - 8^2)/(-288) = -3/4
Таким образом, синус половины угла BPC будет равен:
sin(α/2) = sqrt((1 - cos(α))/2) = sqrt((1 + 3/4)/2) = sqrt(7/8)
Наконец, чтобы найти величину двугранного угла, мы можем воспользоваться формулой для синуса двойного угла:
sin(2α) = 2sin(α)cos(α) = 2sqrt(7/8)(-3/4) = -3*sqrt(14)/16
Таким образом, величина двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием пирамиды PABCD, равна arcsin(-3*sqrt(14)/16) ≈ 72.7 °.