Коло, вписане в трикутник АВС дотикається до його сторін у точках D, E, F
Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо
BD-7cm EC=AF=6cm
Ответы
Ответ:
За теоремою про дотичні до кола, ми знаємо, що точки дотику D, E і F ділять відповідні сторони трикутника АВС на дві частини, причому довжина кожної частини становить довжину суміжного відрізка сторони мінус довжина дотичної.
Позначимо довжини відрізків сторін АВ, ВС і СА через a, b і c відповідно, а радіус кола через r. Тоді маємо наступні співвідношення:
AD = AF = (a - b + c) / 2 - довжина сегмента АD сторони АВ
BD = BE = (a + b - c) / 2 - довжина сегмента BD сторони АВ
CE = CF = (a + b - c) / 2 - довжина сегмента СЕ сторони ВС
Також ми знаємо, що BD = 7 і EC = 6. Отже, ми можемо записати:
(a + b - c) / 2 = BD + CE = 7 + 6 = 13
Тепер ми можемо виразити a, b і c через r:
a = AD + BD + AF = (a - b + c) / 2 + 7 + (a - b + c) / 2 = a - b + c + 14
b = BD + BE + CE = 7 + (a + b - c) / 2 + (a + b - c) / 2 = a + b - c + 7
c = CE + CF + AF = 6 + (a + b - c) / 2 + (a - b + c) / 2 = a - b + c + 6
Підставляючи значення (a + b - c) з попереднього рівняння, ми отримуємо:
a = 27 - 2c
b = 20 - 2a
c = 19 - 2b
Тепер ми можемо підставити ці значення у формулу для периметра трикутника:
P = a + b + c = (27 - 2c) + (20 - 2a) + (19 - 2b) = 66 - 2(a + b + c)
Звідси маємо:
3P = 66
P = 22
Отже, периметр трикутника АВС дорівнює 22 см