Question

1.Ймовірність виходу з ладу за час t одного приладу дорівнює p=0.55.
Визначити ймовірність того, що за час t з n=90 приладів вийдуть з ладу:
а) рівно k1=50 приладів;
б) від k2=45 до k3=55 приладів;

2.Записати довірчий інтервал для оцінки з надійністю gamma=0.99 невідомого
математичного сподівання a нормально розподіленої ознаки X генеральної
сукупності, якщо відомі генеральне середнє квадратичне відхилення sigma=4,
вибіркове середнє xB=10,2 і об'єм вибірки n=16.

Answer 1

Ответ:

Якось так)

Пошаговое объяснение:

1.а) Використовуючи біноміальний розподіл, маємо:

P(X=k1) = C(n,k1) * p^k1 * (1-p)^(n-k1)

де C(n,k1) - кількість способів вибрати k1 приладів з n.

Підставляємо значення:

P(X=50) = C(90,50) * 0.55^50 * 0.45^40 ≈ 0.066

б) Для знаходження ймовірності від k2 до k3 приладів можемо скористатися нормальним апроксимаційним розподілом біноміального розподілу з використанням правила трьох сигм:

μ = np = 90 * 0.55 ≈ 49.5

σ = sqrt(np(1-p)) ≈ 4.38

Тоді:

P(k2 ≤ X ≤ k3) ≈ P((k2-0.5-μ)/σ ≤ Z ≤ (k3+0.5-μ)/σ)

де Z - стандартна нормальна величина.

Підставляємо значення:

P(45 ≤ X ≤ 55) ≈ P((44.5-49.5)/4.38 ≤ Z ≤ (55.5-49.5)/4.38)

≈ P(-1.14 ≤ Z ≤ 1.14) ≈ 0.684

Отже, ймовірність того, що за час t з n=90 приладів вийдуть з ладу:

а) рівно 50 приладів - 0.066

б) від 45 до 55 приладів - 0.684

2. Довірчий інтервал для невідомого математичного сподівання a можна записати за формулою:

xB ± z(α/2) * σ/√n

де xB - вибіркове середнє, σ - генеральне середнє квадратичне відхилення, n - об'єм вибірки, z(α/2) - критичне значення стандартної нормальної величини для рівня довіри α.

З таблиці стандартних нормальних величин знаходимо:

z(α/2) = z(0.005) ≈ 2.58

Підставляємо значення:

10.2 ± 2.58 * 4/√16

≈ 10.2 ± 2.58

≈ (7.62, 12.78)

Отже, з надійністю 0.99 можна стверджувати, що невідоме математичне сподівання a лежить в інтервалі (7.62, 12.78).