Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x-x (в квадрате), y = 4-x.

Answer 1

Найдем пределы интегрирования
4х-х²=4-х
х²-5х+4=0
х1+х2=5 и х1*х2=4
х1=1 и х2=4
Фигура ограничена сверху параболой,а снизу прямой
$S= intlimits^4_1 {(5x-4-x^2)} , dx =5x^2/2-4x-x^3/3|4-1=40-16-64/3-$$5/2+4+1/3=4,5$

Answer 2

Считаем площадь фигуры между двумя графиками по формуле

$S= intlimits^a_b {((f(x)-g(x))} , dx$,
 где f(x)- кривая, график, которой расположен выше кривой у=g(x);
a и b - абсциссы точек пересечения графиков; a<b.

Строим графики функций ( см. рис. в приложении):
у=4х-х²- парабола, ветви которой направлены вверх, точки пересечения с осью Ох:
х=0; х=4
Координаты вершины (2;4).
у=4-х - прямая, проходящая через точки (0;4) и (4;0).

Находим абсциссы точек пересечения графиков функций:
4х-х²=4-х;
х²-5х+4=0
D=25-4·4=9
x=(5-3)/2=1  или    х=(5+3)/2=4

$S= intlimits^4_1 {((4x- x^{2})-(4-x))} , dx= \ \ =intlimits^4_1 {(4x- x^{2}-4+x)} , dx= \ \ = intlimits^4_1 {(5x- x^{2}-4)} , dx= \ \ =( 5cdot frac{ x^{2} }{2} - frac{x^3}{3}-4x)| ^4_1= ( 5cdot frac{ 4^{2} }{2} - frac{4^3}{3}-4cdot 4)-( 5cdot frac{ 1^{2} }{2} - frac{1^3}{3}-4)=$

$40 - frac{64}{3}-16- frac{5}{2} + frac{1}{3}+4=4,5$
кв. ед.

О т в е т. S=4,5 кв. ед.