Question

Скільки коренів належить проміжку
cos3x+cosx=0

Answer 1

Ответ:

Застосуємо тригонометричну тотожність для суми косинусів:

cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB

Отже, можна переписати рівняння як:

cos(3x) + cos(x) = 2cos(2x)cos(x) = 0

або

cos(x)(2cos(2x)) = 0

Це рівняння має два розв'язки:

cos(x) = 0, тоді x = (2n+1)π/2, де n - ціле число.

cos(2x) = 0, тоді 2x = π/2 + kπ, де k - ціле число. Звідси x = (π/4) + (kπ/2), де k - ціле число.

Отже, загалом маємо нескінченну множину розв'язків рівняння, яка складається з усіх значень x, які задовольняють одному з двох умов, вище вказаних. Кількість цих розв'язків є нескінченною.