Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей.

Answer 1

$c$ -  гипотенуза, $a,b$ - катеты треугольника  
$S=frac{ab}{2}\ a^2+b^2=64\ a=sqrt{64-b^2}\ b^2 leq 64\\ S=frac{sqrt{64-b^2}b}{2}\ S(b)=frac{sqrt{64-b^2}b}{2}$ рассмотрим функцию , найдем производную 
$S'(b)=frac{sqrt{64-b^2}b}{2}'=\ frac{sqrt{64-b^2}}{2}-frac{b^2}{2sqrt{64-b^2}}\ S'(b)=0\ 64-b^2-b^2=0\ 64-2b^2=0\ b^2=32\ b=4sqrt{2}\ a=4sqrt{2}$ то есть катеты должны быть равны между собой и равны числам $4sqrt{2}=a=b$