Question

1. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ.
a) 2x² + 8x + 20 ≥ 0;
b) -x² - 10x + 25 > 0;
c)x2 + 3x + 2 <_ 0;
d) -4x2 - 4 > 0.

Answer 1

Ответ:

$\bf 1)\ \ 2x^2+8x+20\geq 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+4x+10\geq 0\\\\D=b^2-4ac=16-4\cdot 10=-24 < 0\ \ \ \Rightarrow$  

Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней .  График параболы находится выше оси ОХ, так как  а=1>0 .  Поэтому решением неравенства является вся числовая прямая :  

$\bf x\in (-\infty \, ;+\infty \, )$                    

 

 $\bf 2)\ \ -x^2-10x+25 > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+10x-25 < 0\ \ ,\\\\D/4=(b/2)^2-ac=25+25=50\ \ ,\\\\x_1=-5-\sqrt{50}=-5-5\sqrt2\ \ ,\ \ \ x_2=-5+5\sqrt2\\\\znaki:\ \ +++(-5-5\sqrt2)---(-5+5\sqrt2)+++\\\\x\in (\ -5-5\sqrt5\ ;\ -5+5\sqrt2\ )$    

Решением неравенства является открытый промежуток (интервал) .

$\bf 3)\ \ x^2+3x+2\leq 0\ ,\\\\x^2+3x+2=0\ \ \ \Rightarrow \ \ x_1=-2\ ,\ x_2=-1\ \ \ (teorema\ Vieta)\\\\(x+2)(x+1)\leq 0\\\\znaki:\ \ \ +++[-2\ ]---[-1\ ]+++$  

Выбираем промежуток со знаком минус :    $\boldsymbol{x\in [-2\ ;-1\ ]}$  .

Решением неравенства является закрытый промежуток .  

$\bf 4)\ \ -4x^2-4 > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ -4\, (x^2+1) > 0\ \ \Rightarrow \ \ x^2+1 < 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \varnothing$  

Выражение  $\bf x^2\geq 0$  при  любых значениях  х  . Тогда выражение

$\bf x^2+1\geq 1$   при  любых значениях  х  и не может быть отрицательным

Неравенство не имеет решений .