Ответы
Кут між прямими ВС і AA1 дорівнює куту між векторами BC і A1A, оскільки вони лежать на цих прямих відповідно. Використовуючи скалярний добуток векторів, можна знайти цей кут за формулою:
cos(BC, A1A) = (BC · A1A) / (|BC| × |A1A|)
де BC · A1A - скалярний добуток векторів BC і A1A, |BC| та |A1A| - довжини цих векторів.
Залишається знайти вектори BC і A1A. Звернімось до властивостей куба: AB = BC = CD = DA1 і A1B1 = B1C1 = C1D1 = DA. Звідси ми можемо знайти BC і A1A:
BC = AB - AC = AB - AA1
A1A = AA1 - AB1
Замінивши ці вирази в формулі для cos(BC, A1A), отримаємо:
cos(BC, A1A) = ((AB - AC) · (AA1 - AB1)) / (|AB - AC| × |AA1 - AB1|)
Цей вираз можна обчислити, використовуючи відомі координати вершин куба.
Щоб знайти прямі, перпендикулярні до прямої СС1, необхідно знайти напрямок цієї прямої. Він збігається з напрямком вектора CС1. Якщо вектор n має координати (a, b, c), то вектори, перпендикулярні до нього, мають координати (b, -a, 0) і (-c, 0, a).
Отже, вектори, які мають координати (1, -1, 0) і (0, -1, 1), перпендикулярні до прямої СС1.
Щоб знайти прямі, перпендикулярні до площини (ADD1), потрібно знайти векторний добуток вектора, паралельного цій площині, і довільного вектора. Оскільки вектор, паралельний площині (ADD1), можна представити як векторний добуток векторів AD і AD1, то маємо:
n = AD x AD1
де n - вектор, паралельний площині (ADD1).
Тепер, щоб знайти прямі, перпендикулярні до площини (ADD1), можна знайти векторний добуток вектора n і довільного вектора. Наприклад, можна взяти вектор AB:
m = n x AB
де m - вектор, перпендикулярний площині (ADD1) і спрямований вздовж шуканої прямої.
Щоб довести, що тетраедр ABC1D1 є прямокутним, потрібно довести, що три з його граней є прямокутними.
Грань ABC1 є прямокутною, оскільки прямі AB і BC1 перпендикулярні, а значить, кут ABC1 прямий.
Грань ABD1 є прямокутною, оскільки прямі AB і AD1 перпендикулярні, а значить, кут ABD1 прямий.
Грань AC1D1 є прямокутною, оскільки прямі AC1 і AD1 перпендикулярні, а значить, кут AC1D1 прямий.
Таким чином, всі грані тетраедра ABC1D1 є прямокутними, а значить, сам тетраедр є прямокутним.